这是我暑假给新高一的学弟学妹们上课的一些讲义，放在这里作为记录.

第五章 质心 刚体

5.1 质心

力的非线性疑难

刚体的运动，6个自由度

质心的定义：

$$\bold{r}_C=\frac{\sum_i m_ir_i}{m}\,,\quad m=\sum_i m_i$$

质心运动定理：

$$\begin{aligned} \bold{v}_C&=\frac{d\bold{r}_C}{dt}=\frac{\sum_i m_i\bold{v}_i}{m}\\\\ \bold{F}_{合外}&=\frac{d\bold{p}}{dt}=m\bold{a}_C \end{aligned}$$

例1 部分和整体相似，设方程求解.

例2 略.

例3 刚体碰撞问题的三个方程

$$\begin{aligned} \bold{p}_0&=\bold{p}_C+\bold{p}'\\\\ p_0d&=p'd+I_C\omega\\\\ e\bold{v_0}&=\bold{v}_C-\bold{v}' \end{aligned}$$

例4 略.

例5 非惯性系中质心的受力等价于质点的受力.

例6 同上.

例7 略.

例8 注意，简谐运动相差$\pi/2$合成得到椭圆.

5.2 刚体定轴转动

转动惯量的引入：

$$\begin{aligned} E_k=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2&=\sum_i\frac{1}{2}m_i(\omega R_i)^2\\\\ &=\sum_i\frac{1}{2}m_iR_i^2\cdot\omega^2\\\\ &=\frac{1}{2}I\omega^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \bold{L}&=\sum_i\bold{r}_i\times(m_i\bold{v}_i)\\\\ L_z&=I\omega \end{aligned}$$

转动惯量的计算：

平行轴定理：$I_{MN}=I_C+md^2$

垂直轴定理：$I_x+I_y=I_z$

正交轴定理：

$$\begin{aligned} I_x+I_y+I_z&=2\sum_im_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2)=2\sum_im_ir_i^2\\\\ &=I_x'+I_y'+I_z' \end{aligned}$$

例9 略.

例10 量纲法.

例11 略.

$M=I\beta$.

例16 刚性模型的疑难.

5.3 刚体平面平行运动

瞬心：某一时刻，刚体上速度为零的点.

例17 重点理解两个圆互相纯滚时的速度关联. 放一个图在这里.

注意：$\Delta\phi=\Delta\theta+\Delta\phi_0$.

例24

$$\begin{aligned} &\bold{M}_{外,M}+\sum_i\bold{r}_i\times m_i(-\bold{a}_M)=I_M\vec{\beta}\\\\ &\Longrightarrow\bold{M}_{外,M}-\bold{r}_C\times\bold{a}_Mm=I_M\vec{\beta}\\\\ &\bold{a}_M=\omega^2(-\bold{r}_C)+\vec{\beta}\times(-\bold{r}_C)+\frac{d\bold{v}_C}{dt}\\\\ &\bold{v}_M=\vec{\omega}\times(-\bold{r}_C)+\bold{v}_C=0\\\\ &\bold{v}_C=\vec{\omega}\times\bold{r}_C\\\\ &\frac{d\bold{v}_C}{dt}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\bold{r}_C+\vec{\omega}\times\frac{d\bold{r}_C}{dt}\\\\ &=\vec{\beta}\times\bold{r}_C+\vec{\omega}\times\frac{d\bold{r}_C}{dt}\\\\ &\bold{a}_M=-\omega^2\bold{r}_C+\vec{\omega}\times\frac{d\bold{r}_C}{dt}\\\\ &m(\bold{r}_C\times\bold{a}_M)=\frac{1}{2}\frac{dI_M}{dt}\vec{\omega}\\\\ &\Longrightarrow M_{外,M}=I_M\beta+\frac{1}{2}\omega\frac{dI_M}{dt} \end{aligned}$$

第七章 振动和波

7.1 简谐振动的运动学描述

$$\begin{aligned} x&=A\cos(\omega t+\phi)\\\\ v_x&=-\omega A\sin(\omega t+\phi)\\\\ a_x&=-\omega^2A\cos(\omega t +\phi) \end{aligned}$$

Euler公式：$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

Taylor展开：

$$\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{0!}f(x_0)+\frac{1}{1!}f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots\\\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}[f^{(m)}(x_0)](x-x_0)^m \end{aligned}$$

复数表述：$\widetilde{A}=Ae^{i(\omega t +\phi)}$

注意：一定不能做乘除法运算！$y$方向的运动是虚拟的，只可以做线性运算.

例2 旋转坐标轴

$$\left\lgroup\begin{array}{} x'\\ y' \end{array}\right\rgroup= \left\lgroup\begin{array}{} \cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta \end{array}\right\rgroup \left\lgroup\begin{array}{} x\\ y \end{array}\right\rgroup$$

7.2 简谐振动的动力学性质

$\ddot{x}=-\omega^2x$

猜解：

$$\begin{aligned} 1.x&=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\\\\ 2.x&=A\cos(\omega t+\phi)\\\\ 3.x&=Ae^{i(\omega t+\phi)} \end{aligned}$$

振动能量：不能用复数表示，硬要用就是用复共轭.

总能量正比于振幅的平方.

能量导出动力学方程：

$$\begin{aligned} &E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}\alpha x^2+V_0+\beta x\\\\ &=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}\alpha(x+\cdots)^2\\\\ &\Longrightarrow 0=m\dot{x}\ddot{x}+\alpha(x+\cdots)\dot{x}\\\\ &\Longrightarrow 0=m\ddot{x}+\alpha(x+\cdots)\\\\ &ma=-\alpha x+\cdots \end{aligned}$$

7.3 保守系的振动

广义坐标$\xi$，（xi），大写$\Xi$.

$F_\xi=-\frac{dE_p}{d\xi}$，

平衡稳定性：稳定、不稳定、随遇.

$$T=2\int_{-A_左}^{A_右}\frac{d\xi}{\sqrt{2[E-E_p(\xi)]/\alpha}}$$

Binet方程：

$$\begin{aligned} &m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F(r)\\\\ &m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0\\\\ &\Longrightarrow 2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}=0\\\\ &\Longrightarrow\frac{d(r^2\dot{\theta})}{dt}=0\\\\ &\Longrightarrow r^2\dot{\theta}=\frac{L}{m}\\\\ &\dot{\theta}^2=(\frac{L}{mr^2})^2=\frac{L^2}{m^2r^4}\\\\ &\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}\frac{dr}{d\theta}=\frac{L}{mr^2}\frac{dr}{d\theta}\\\\ &\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{L}{mr^2}\frac{dr}{d\theta})=-\frac{2L}{mr^3}\dot{r}\frac{dr}{d\theta}+\frac{L}{mr^2}\frac{d^2r}{d\theta^2}\dot{\theta}\\\\ &=-\frac{2L^2}{m^2r^5}(\frac{dr}{d\theta})^2+\frac{L^2}{m^2r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2} \end{aligned}$$

$$-\frac{2L^2}{mr^5}(\frac{dr}{d\theta})^2+\frac{L^2}{mr^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}-\frac{L^2}{mr^3}=F(r)$$

引入$u=1/r$，

$$\begin{aligned} &\frac{dr}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(\frac{1}{u})=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\\\\ &\frac{d^2r}{d\theta^2}=\frac{d}{d\theta}(\frac{dr}{d\theta})=\frac{d}{d\theta}(-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta})=\frac{2}{u^3}(\frac{du}{d\theta})^2-\frac{1}{u^2}\frac{d^2u}{d\theta^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &-\frac{2L^2u}{m}(\frac{du}{d\theta})^2+\frac{2L^2u}{m}(\frac{du}{d\theta})^2-\frac{L^2u^2}{m}\frac{d^2u}{d\theta^2}-\frac{L^2u^3}{m}=F(\frac{1}{u})\\\\ &\frac{L^2u^2}{m}(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u)=-F(\frac{1}{u}) \end{aligned}$$

推导天体运动的轨迹方程：

$$\begin{aligned} &\frac{L^2u^2}{m}(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u)=-(-GMmu^2)\\\\ &\frac{L^2}{m}(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u)=GMm\\\\ &u=A\cos\theta+B\sin\theta+C\\\\ &特解：u=\frac{GMm^2}{L^2}\\\\ &u=A\cos\theta+B\sin\theta+\frac{GMm^2}{L^2}\\\\ &r=\frac{1}{A\cos\theta+\frac{GMm^2}{L^2}}\\\\ &r=\frac{\frac{L^2}{GMm^2}}{1+\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}\cos\theta} \end{aligned}$$

耦合摆：两个自由度，广义坐标取$\theta_1$，$\theta_2$.

动力学方程：

$$\begin{aligned} &\ddot{\theta_1}=-(\frac{g}{l}+\frac{k}{m})\theta_1+\frac{k}{m}\theta_2\\\\ &\ddot{\theta_2}=+\frac{k}{m}\theta_1-(\frac{g}{l}+\frac{k}{m})\theta_2 \end{aligned}$$

求简正模的第一个方法：配凑简正模.

$$\begin{aligned} &(-\omega^2+\frac{g}{l}+\frac{k}{m})A-\frac{k}{m}B=0\\\\ &-\frac{k}{m}A+(-\omega^2+\frac{g}{l}+\frac{k}{m})B=0\\\\ &\Longrightarrow\left\lvert\begin{array}{}-\omega^2+\frac{g}{l}+\frac{k}{m}&-\frac{k}{m}\\-\frac{k}{m}&-\omega^2+\frac{g}{l}+\frac{k}{m}\end{array}\right\rvert=0 \end{aligned}$$

算出来答案是一样的.

7.4 阻尼振动 受迫振动 自激振动

阻尼振动：

$$\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^2_0x=0$$

猜解：$x=Ae^{rt}$.

代入方程，约去公因子得到：$r^2+2\beta r+\omega^2_0=0$.

解得：$r=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega^2_0}$，我们开始分类讨论：

1.过阻尼，$\beta>\omega_0$，$r<0$，

$x=A_1e^{(-\beta+\sqrt{\beta^2-\omega^2_0})t}+A_2e^{(-\beta-\sqrt{\beta^2-\omega^2_0})t}$，一定是衰减的.

2.临界阻尼，$\beta=\omega_0$，$r=-\beta$，

$x=A_1e^{-\beta t}+A_2te^{-\beta t}$，最快回到平衡位置.

3.低阻尼，$\beta<\omega_0$，引入$\omega=\sqrt{\omega^2_0-\beta^2}$，

$r_{1,2}=-\beta\pm i\omega$

$x=Ae^{-\beta t}\cos(\omega t+\phi)$.

品质因数$Q=2\pi E/\Delta E$，另一个计算公式$Q=\omega_0/2\beta$，其中$\beta\ll\omega_0$.

受迫振动：

$$\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_0^2x=f_0\cos\omega t$$

$x=A_1e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi_1)+A_2\cos(\omega t+\phi_2)$.

稳态解与暂态解的区别.

$$A_2=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega^2_0-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\,,\quad\tan\phi_2=-\frac{2\beta}{\omega^2_0-\omega^2}$$

共振位置$\omega_r=\sqrt{\omega^2_0-2\beta^2}$，共振峰宽度两个振幅为最大振幅的$\sqrt{2}/2$处所对应的$\omega$之间的$\Delta\omega$.

梁昆淼《理论力学》，周衍柏《理论力学教程》，刘川《理论力学》

自激振动：

恒力作用.

7.5 波的运动学描述

题外话：赵凯华《定性与半定量物理学》

$\xi(x,t)=A\cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{r}+\phi_0)$

没有能量损耗时，平面波振幅恒定不变，球面波振幅随$r$反比，柱面波振幅随$\sqrt{r}$反比.

干涉：两列同频率波相遇在同一点，对同一点的振动产生叠加作用.

$$\begin{aligned} &\xi_1=A_1\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}r_1+\phi_1)\\\\ &\xi_2=A_2\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}r_2+\phi_2)\\\\ &\xi_P=\xi_1+\xi_2=A_p\cos(\omega t+\phi)\\\\ &A_P=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\phi_P}\\\\ &\Delta\phi_P=\phi_1-\phi_2+\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1) \end{aligned}$$

分析：$\Delta\phi_P=2k\pi$时干涉相长，$\Delta\phi_P=(2k+1)\pi$时干涉相消.

LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

通过辐射的受激发射而产生的光放大

驻波：“停在一个地方不动的波”

$\xi=2A\cos(\frac{2\pi}{\lambda})x'\cdot\cos\omega t'$

$\xi$ $\varepsilon$ $\epsilon$

半波损：被固定住的地方是波节，反射波产生$\pi$的相位差.

惠更斯原理：波阵面上的每一个点，都可以作为一个新的波源.

推导折射定律、反射定律.

Doppler Effect：（例28）

$$\nu=\frac{u-v_B\cos\phi_B}{u-v_S\cos\phi_S}\nu_0$$

7.6 一维线性波动方程

形式：

$$\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}-u^2\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}=0$$

1.弹性介质中的纵波和横波

杨氏模量（Thomas Young）：$E=\frac{F/S}{d\xi/dx}$.

$F=ES\frac{d\xi}{dx}$，$F=ES\frac{\Delta x}{L}$，这就是Hooke定律，其中劲度系数$k=ES/L$.

切变模量：$G=\frac{T/S}{dz/dx}$.

类比杨氏模量，也可以写出切向的应力.

推导弹性介质中的波动方程：

$k_{dx}=ES/dx$，为第$n$个“小球”建立动力学方程，得到

$$\begin{aligned} &(dm)\frac{d^2\xi_n}{dt^2}=k_{dx}(\xi_{n+1}-\xi_n)-k_{dx}(\xi_n-\xi_{n-1})\\\\ &\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\frac{k_{dx}}{dm}[(\xi(x+dx,t)-\xi(x,t))-(\xi(x,t)-\xi(x-dx,t))]\\\\ &\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\frac{k_{dx}}{dm}(\frac{\partial \xi}{\partial x}|_xdx-\frac{\partial\xi}{\partial x}|_{x-dx}dx)\\\\ &\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\frac{k_{dx}}{dm}\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}(dx)^2\\\\ &\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2} \end{aligned}$$

波速$u_\parallel=\sqrt{E/\rho}$.

横波可以类比，波速为$u_\perp=\sqrt{G/\rho}$.

2.弦上的横波

线密度为$\lambda$，张力$T$.

$$\begin{aligned} (\lambda dx)\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}&=T\sin(\theta+d\theta)-T\sin\theta\\\\ &=T[\tan(\theta+d\theta)-\tan\theta]\\\\ &=T(\frac{\partial\xi}{\partial x}|_{x+dx}-\frac{\partial\xi}{\partial x}|_x)=T\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}dx\\\\ \Longrightarrow\quad&\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\frac{T}{\lambda}\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2} \end{aligned}$$

波速$u=\sqrt{T/\lambda}$.

3.空气中的声波

等效杨氏模量：$E^*=\gamma p_0$.

4.水面波

鸟人的水波题

群速和相速的公式：

群速$v_g=\frac{d\omega}{dk}|_{k_0}$，相速$v_p=\frac{\omega}{k}$.

波的反射和透射：

界面两侧，原函数相等，一阶导函数相等.

7.8 真空中的电磁波

$$\begin{aligned} &\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}-u^2(\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\xi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\xi}{\partial z^2})=0\\\\ &\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=u^2\nabla^2\xi \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\nabla\cdot\bold{E}=0\\\\ &\nabla\cdot\bold{B}=0\\\\ &\nabla\times\bold{E}=-\frac{\partial\bold{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\bold{B}=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\bold{E}}{\partial t} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\nabla\times(\nabla\times\bold{B})=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\bold{E})\\\\ &\nabla(\nabla\cdot\bold{B})-\nabla^2\bold{B}=-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\bold{B}}{\partial t^2}\\\\ &\nabla^2\bold{B}=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\bold{B}}{\partial t^2} \end{aligned}$$

所以，光速$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$.

数学知识

微分方程

比较简单的，可以直接分离变量积分.

一些常用的积分方法：

1.换元积分法：

例1

$$\int\frac{d\beta}{(1-\beta)^2\sqrt{1-\beta^2}}=?$$

必须背下来反三角函数的积分. 先处理分母的前半部分，

$$\int\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}d(\frac{1}{1-\beta})$$

换元，$x=1/(1-\beta)$，$\beta=1-1/x$，

$$\begin{aligned} &\int\frac{1}{\sqrt{1-(1-\frac{1}{x})^2}}dx=\int\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx\\\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{(2x-1)+1}{\sqrt{2x-1}}dx\\\\ &=\frac{1}{2}\int\sqrt{2x-1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{2x-1}}dx\\\\ &=\frac{1}{6}(2x-1)^{3/2}+\frac{1}{2}(2x-1)^{1/2}+C \end{aligned}$$

例2

$$\int\frac{d\theta}{\lambda+\cos^2\theta}=?$$

三角函数变形：

$$\begin{aligned} &\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}\\\\ &1+\tan^2\theta=(\tan\theta)' \end{aligned}$$

所以原积分化为

$$\int\frac{d(\tan\theta)}{\lambda\tan^2\theta+(\lambda+1)}$$

换元$x=\tan\theta$，

$$\begin{aligned} &\int\frac{dx}{\lambda x^2+(\lambda+1)}\\\\ &=\frac{1}{\lambda+1}\int\frac{dx}{1+\frac{\lambda x^2}{\lambda+1}}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{\lambda(\lambda+1)}}\int\frac{d(\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+1}}x)}{1+(\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+1}}x)^2}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{\lambda(\lambda+1)}}\arctan(\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+1}}x)+C\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{\lambda(\lambda+1)}}\arctan(\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+1}}\tan\theta)+C \end{aligned}$$

2.分部积分法：

原理 $d(uv)=udv+vdu\Rightarrow udv=d(uv)-vdu$

例3

$$\int_0^\infty\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx=?$$

直接分部，

$$\begin{aligned} &\int_0^\infty\ln x\,d(-\frac{1}{1+x})\\\\ &=-\frac{\ln x}{1+x}|^\infty_0+\int_0^\infty\frac{1}{x+1}d(\ln x)\\\\ &=-\frac{\ln x}{1+x}+\int\frac{1}{x(x+1)}dx\\\\ &=-\frac{\ln x}{1+x}+\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{1+x}dx\\\\ &=-\frac{\ln x}{1+x}+\ln x-\ln(1+x)=0 \end{aligned}$$

齐次方程，满足

$$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$$

解法：引入新的函数$u=y/x$，就可以化为可分离变量的方程.

一阶线性微分方程：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

通解公式

$$y=e^{-\int P(x)dx}[C+\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx]$$

悬链线问题：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{a}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}$$

设$p=dy/dx$，就化为可以分离变量的方程.

Euler方程：

$$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$$

求导算符$D$，$\frac{dy}{dx}=Dy$，

做换元$x=e^t$，现在的求导算符$D=\frac{d}{dt}$，所以$y$的任一一阶导数可以被记作：

$$\begin{aligned} &\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}Dy\\\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}=\frac{d}{dt}(e^{-t}\frac{dy}{dt})\frac{1}{x}=\frac{1}{x}(-e^{-t}\frac{dy}{dt}+e^{-t}\frac{d^2y}{dt^2})\\\\ &=\frac{1}{x^2}(D-1)Dy\\\\ &\Longrightarrow\frac{d^ny}{dx^n}=\frac{1}{x^n}D(D-1)(D-2)\cdots(D-n+1)y \end{aligned}$$

偏导数

$$\begin{aligned} &(\frac{\partial U}{\partial V})_T=(\frac{\partial U}{\partial V})_S+(\frac{\partial U}{\partial S})_V(\frac{\partial S}{\partial V})_T\\\\ &=-p+T(\frac{\partial S}{\partial V})_T\\\\ &=-p+T(\frac{\partial p}{\partial T})_V \end{aligned}$$

$A(x,y)$，固定$y$不变，对$x$求导数，即为偏导数，记作$(\frac{\partial A}{\partial x})_y$.

现在定义$A(x,y)$，$B(x,y)$，$C(x,y)$，来学习一些偏导数的公式.

$$dA(x,y)=(\frac{\partial A}{\partial x})_ydx+(\frac{\partial A}{\partial y})_xdy$$

$$\begin{aligned} &(\frac{\partial A}{\partial x})_y(\frac{\partial x}{\partial y})_A(\frac{\partial y}{\partial A})_x=-1\\\\ &(\frac{\partial A}{\partial x})_B=(\frac{\partial A}{\partial x})_y+(\frac{\partial A}{\partial y})_x(\frac{\partial y}{\partial x})_B \end{aligned}$$