计算专题3 凸透镜的二阶像散

前言

这一篇专题旨在计算我在竞赛阶段算过三遍却没有一次算对的问题，之前CPhO-S某张试卷中的“凸透镜的像散”. 这是对之前的自我的一次挑战，也是为了14号开始去某物理竞赛机构打工而进行的一次计算能力的复健. 同时，毕竟8月中下旬就要开学，在此之前我还是希望自己的能力，至少是计算能力，要能够维持一定的水准.

希望这次的计算专题能够达到我想要的效果.

问题描述

如图所示，一个凸透镜，两面球面半径分别为$r_1$和$r_2$，光线平行主光轴入射，距离主光轴$r$. 凸透镜的像散是指边缘光汇聚点与傍轴光汇聚点（即焦点）之间的一段距离$\Delta$，本题所求即为在二阶近似下的$\Delta$值（保留$O(r^2)$阶项，$r\ll f$，$f$为焦距）.

计算

角度设定和初步运算

如图所示，设定所用到的各个角度.

$$\begin{aligned}\\\\ \end{aligned}$$

设第一次入射角为$i$，折射角为$j$，第二球面的法线在光线入射处与主光轴夹角为$\alpha$，则第二次的入射角为$i-j+\alpha$，折射角为$\beta$. 设最终出射光线与主光轴的交点距离光心$x$，又因为可做薄透镜近似，$x$实际上是交点与第二球面顶点之间的距离.

由几何关系，易知：

$$\begin{aligned} \sin i=\frac{r}{r_1}\,,\quad\sin\alpha=\frac{r}{r_2}\,,\quad x=\frac{r}{\tan(\beta-\alpha)}\\\\ \end{aligned}$$

又有折射定律

$$\begin{aligned} n\sin j=\sin i\,,\quad n\sin(i-j+\alpha)=\sin\beta\\\\ \end{aligned}$$

所以

$$\begin{aligned} x&=r\cdot\frac{\cos(\beta-\alpha)}{\sin(\beta-\alpha)}=r\cdot\frac{\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha}{\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha}\\\\ &=r\cdot\frac{\cos\beta\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}+n\sin(i-j+\alpha)\cdot\frac{r}{r_2}}{n\sin(i-j+\alpha)\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}-\cos\beta\cdot\frac{r}{r_2}}\\\\ \Longrightarrow&\quad\Delta=f-x\\\\&=f-r\cdot\frac{\cos\beta\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}+n\sin(i-j+\alpha)\cdot\frac{r}{r_2}}{n\sin(i-j+\alpha)\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}-\cos\beta\cdot\frac{r}{r_2}}\\\\&=\frac{1}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}-r\cdot\frac{\cos\beta\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}+n\sin(i-j+\alpha)\cdot\frac{r}{r_2}}{n\sin(i-j+\alpha)\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}-\cos\beta\cdot\frac{r}{r_2}}\\\\ \end{aligned}$$

至此，我们得到了像散的初步表达式，之后进行较为细致的小量处理.

深入计算与小量处理

目前还有$\cos\beta$和$\sin(i-j+\alpha)$两个量没有具体表达式，先对这两个量进行化简.

$$\begin{aligned} \sin(i-j+\alpha)&=\sin i(\cos \alpha\cos j+\sin\alpha\sin j)+\cos i(\sin\alpha\cos j-\cos\alpha\sin j)\\\\&=\frac{r}{r_1}(\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{n^2r^2_1}}+\frac{r}{r_2}\cdot\frac{r}{nr_1})+\\\\&\quad\,\sqrt{1-\frac{r^2}{r_1^2}}\cdot(\frac{r}{r_2}\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{n^2r^2_1}}-\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}\cdot\frac{r}{nr_1})\\\\ \end{aligned}$$

注意到，$\sin(i-j+\alpha)$的最低阶项就是一阶项，所以$x$表达式里分母中最低阶的项就是一阶项，再与前面的$r$相乘后分母变为零阶. 又因为整个$x$一定是正常量级，所以分子最低阶必须是零阶. 而问题要求最终结果保留到二阶量，所以分子、与$r$相乘后的分母都需要保留到二阶项，这就要求$\sin(i-j+\alpha)$和$\cos\beta$在前期计算时必须保留三阶项.

继续：

$$\begin{aligned} \sin(i-j+\alpha)&\approx\frac{r}{r_1}(1-\frac{r^2}{2r_2^2}-\frac{r^2}{2n^2r^2_1}+\frac{r^2}{nr_1r_2})+\\\\&\quad\,(1-\frac{r^2}{2r^2_1})(\frac{r}{r_2}-\frac{r^3}{2n^2r_1^2r_2}-\frac{r}{nr_1}+\frac{r^3}{2nr_1r_2^2})\\\\&\approx\frac{r}{r_1}-\frac{r^3}{2r_1r^2_2}-\frac{r^3}{2n^2r_1^3}+\frac{r^3}{nr^2_1r_2}+\\\\&\quad\,\frac{r}{r_2}-\frac{r^3}{2n^2r_1^2r_2}-\frac{r}{nr_1}+\frac{r^3}{2nr_1r_2^2}-\frac{r^3}{2r_1^2r_2}+\frac{r^3}{2nr_1^3}\\\\&=(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r+(-\frac{1}{2r_1r_2^2}-\frac{1}{2n^2r_1^3}+\\\\&\quad\,\frac{1}{nr_1^2r_2}-\frac{1}{2n^2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1r_2^2}-\frac{1}{2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1^3})r^3\\\\&=(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r+\frac{1}{2nr_1}(n-1)(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})\\\\ \end{aligned}$$

最后一行的化简结果要鸣谢另一位攀登计划的同学，这种观察能力令我深表佩服.

$\cos\beta$要利用$\sin(i-j+\alpha)$的结果来计算，这时要保留到三阶项，意味着只要用到$\sin(i-j+\alpha)$的一阶成分.

$$\begin{aligned} \cos\beta&=\sqrt{1-n^2\sin^2(i-j+\alpha)}\\\\&\approx\sqrt{1-n^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2}\\\\&\approx1-\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2\\\\ \end{aligned}$$

这时我们可以开始计算$x$的分子与分母.

分子保留二阶项：

$$\begin{aligned} A&\approx\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}\cdot[1-\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2]+\\\\&\quad\,(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})\frac{nr^2}{r_2}+(-\frac{1}{2r_1r_2^2}-\frac{1}{2n^2r_1^3}+\\\\&\quad\,\frac{1}{nr_1^2r_2}-\frac{1}{2n^2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1r_2^2}-\frac{1}{2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1^3})\frac{nr^4}{r_2}\\\\&\approx1-\frac{r^2}{2r_2^2}-\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2+(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})\frac{nr^2}{r_2}\\\\&=1-(\frac{1}{2r_2^2}+\frac{n^2}{2r_1^2}+\frac{n^2}{2r_2^2}+\frac{1}{2r_1^2}+\\\\&\quad\,\frac{n^2}{r_1r_2}-\frac{n}{r_1^2}-\frac{n}{r_1r_2}-\frac{n}{r_1r_2}-\frac{n}{r_2^2}+\frac{1}{r_1r_2})r^2\\\\ \end{aligned}$$

注意观察，$r^2$的系数是可以分组提取公因子，进行因式分解的：

$$\begin{aligned} &\frac{1}{2}(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{2}{r_1r_2})-n(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{2}{r_1r_2})+\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{2}{r_1r_2})\\\\&=\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2\\\\ \end{aligned}$$

故而分子保留到二阶小量化为

$$\begin{aligned} A&\approx1-\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2r^2\\\\ \end{aligned}$$

分母要除去$r$，有：

$$\begin{aligned} B&\approx \frac{n}{r}\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}[(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r+\frac{1}{2nr_1}(n-1)(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})]\\\\&\quad\,-[1-\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2]\cdot\frac{1}{r_2}\\\\&\approx n(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})+\frac{n-1}{2r_1}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})r^2\\\\&\quad\,\underline{-\frac{n}{2r_2^2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r^2}-\frac{1}{r_2}\underline{+\frac{n^2}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2}\\\\&=(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+\frac{n-1}{2r_1}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})r^2\\\\&\quad\,\underline{+\frac{nr^2}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}\\\\&=(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})[\frac{1}{2r_1}(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})+\\\\&\quad\,\frac{n}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})]r^2\\\\ \end{aligned}$$

进入下一个环节：

$$\begin{aligned} \Delta&\approx\frac{1}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}-\frac{1}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}\{1-\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2r^2\\\\&\quad\,-[\frac{n}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+\frac{1}{2nr_1^2}-\frac{1}{r_1r_2}]r^2\}\\\\&=\frac{\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2+\frac{n}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+\frac{1}{2nr_1^2}-\frac{1}{r_1r_2}}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}r^2\\\\ \end{aligned}$$

至此，最终答案就已经被算出来了.（虽然这已经是十几天之后的结果，在机构改试卷的工作确实非常忙碌，根本无法抽身）.

之前一直认为算不对的问题终于解决了，但是我其实并不惊讶. 毕竟这个答案形式本身非常丑陋，而且关于$r_1$和$r_2$也不是对称的，所以我有理由猜测之前的所谓“算不对”实际上是“算不出CPhO-S所给出的原答案”，而且没有这么多时间来仔细打磨自己的计算过程，也就没有办法将答案化简到能用CASIO数值验证的程度. CPhO-S的原答案如下：

$$\begin{aligned} \Delta=\frac{(1-\frac{1}{n^3})\frac{n}{r^3_1}+\frac{n-1}{r^3_2}+n(n^2-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^3+2(n-1)^3(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^3}{6(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2}r^2\\\\ \end{aligned}$$

这两个答案显然不太可能用肉眼证明是相等的. 所以说其实这一次只是打破了之前一直有的一个执念吧.

总结与反思

这一次的计算专题比我想象中的要容易许多. 这并不是说我的能力没有提升，只是说明我比我想象中的自己要强一些而已. 可惜的是，我并没有在打工前写完这一篇计算专题，而是搁到了快8月份才写完，之前定下的目标确实是没有达成，应该反思.

了结了之前在我的笔记本上备注为**“计算高峰，延年益寿”**的这道题目之后，我还有什么想要挑战的题目呢？我计划在开学前至少再写一篇计算专题，至于开学之后要做什么其实我自己也不太清楚. 这次在机构打工的最大收获其实就是认识了很多未来的同学，我对大学生活也有了更深入的了解. 希望接下来的路能够让我有更大的提升吧，至少我会继续挑战下去.