微分几何入门与广义相对论习题1

准备自己做一遍，然后看从网上找来的答案.

1.试证 $A-B=A\cap(X-B)$ ， $\forall A,B\subset X$ .

/proof/

\begin{aligned} A-B&=\{x|x\in A,x\notin B\}=\{x|x\in A\}\cap\{x|x\notin B\}\\\\ &=A\cap(X-B)\\\\ \end{aligned}

至此得证.

2.试证 $X-(B-A)=(X-B)\cup A$ ， $\forall A,B\subset X$ .

/proof/

\begin{aligned} X-(B-A)&=\{x|x\notin(B-A)\}\\\\ &=\{x|x\notin\{x|x\in B,x\not\in A\}\}\\\\ &=\{x|x\in(X-B)或x\in A\}\\\\ &=(X-B)\cup A\\\\ \end{aligned}

至此得证.

3.用“对”或“错”在下表填空：

$f:\R\to\R$	是一一的	是到上的
$f(x)=x^3$
$f(x)=x^2$
$f(x)=e^x$
$f(x)=\cos x$
$f(x)=5,\forall x\in\R$

/solution/

$f:\R\to\R$	是一一的	是到上的
$f(x)=x^3$	对	对
$f(x)=x^2$	错	错
$f(x)=e^x$	对	错
$f(x)=\cos x$	错	错
$f(x)=5,\forall x\in\R$	错	错

感想：“一一”就是自变量和因变量一一对应，不会一对二；“到上”就是因变量的所有取值都对应至少一个自变量.

4.判断下列说法的是非并简述理由：

(a) 正切函数是由 $\R$ 到 $\R$ 的映射；
(b) 对数函数是由 $\R$ 到 $\R$ 的映射；
© $(a,b]\subset\R$ 用 $\mathscr{T}_u$ 衡量是开集；
(d) $[a,b]\subset\R$ 用 $\mathscr{T}_u$ 衡量是闭集.

/solution/

(a) 错. 因为 $x=\pi/2+k\pi(k\in\Z)$ 时， $\tan$ 函数没有取值.
(b) 错. 因为 $\ln$ 函数的定义域是 $(0,+\infty)$ .
© 错. 因为 $(a,b]$ 不能表示为有限个开区间之并.
(d) 对. 因为 $[a,b]$ 的补集是 $(-\infty,a)\cap(b,+\infty)$ ，为有限个开区间之并.

5.举一反例证明命题“ $(\R,\mathscr{T}_u)$ 的无限个开子集之交为开”不真.

/proof/

考虑开子集（开区间） $(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ ，当 $n$ 遍历 $\N^+$ 时，构成无限个开子集. 这些开子集之并为

\begin{aligned} \bigcap_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}\\\\ \end{aligned}

$\{0\}$ 的补集 $(-\infty,0)\cap(-,+\infty)$ 为有限个开子集之并，所以是开子集，这说明 $\{0\}$ 是闭集，这就构成一个命题“ $(\R,\mathscr{T}_u)$ 的无限个开子集之交为开”的反例，于是证明了这个命题不真.

6.试证 $\text{\S}1.2$ 例5中定义的诱导拓扑满足定义1的3个条件.

先回顾一下例5和定义1：

例5中的定义是，对于拓扑空间 $(X,\mathscr{T})$ 的子集 $A$ ，其诱导拓扑 $\mathscr{S}$ 为

\begin{aligned} \mathscr{S}=\{V\subset A|\exist O\in\mathscr{T},V=A\cap O\}\\\\ \end{aligned}

而定义1指的是拓扑必须满足的三个条件：

(a) $X,\varnothing\in\mathscr{T}$ ；
(b) 若 $O_i\in\mathscr{T},i=1,2,\cdots,n$ ，则 $\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T}$ .
© 若 $O_\alpha\in\mathscr{T},\forall\alpha$ ，则 $\underset{\alpha}{\bigcup}O_\alpha\in\mathscr{T}$ . 注意这里 $O_\alpha$ 的个数没有限制.

/proof/

(a) $A$ 满足条件，只需要找一个原拓扑中的开子集 $O\supset A$ ；而空集则一定满足条件，这是显然的.

(b) 设 $V_i=A\cap O_i$ ， $O_i\in \mathscr{T}$ ，则

\begin{aligned} \underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}V_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}(A\cap O_i)=A\cap(\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i)\\\\ \end{aligned}

而 $\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T}$ ，所以 $\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}V_i\in\mathscr{S}$ . 证毕.

\begin{aligned} \bigcup_\alpha V_\alpha=\bigcup_\alpha(A\cap O_\alpha)=A\cap(\bigcup_\alpha O_\alpha)\\\\ \end{aligned}

与上面(b)的证明类似，证毕.

7.举例说明 $(\R^3,\mathscr{T}_u)$ 中存在不开不闭的子集.

/solution/

考虑某个开球，挖去球心，如 $(0,1)^3$ ，其补集为 $\{0\}\cap[1,+\infty)$ ，并不是开集，所以这个集不是闭集；而这个开球已经被挖去球心，所以也不是开球，也就不是 $\mathscr{T}_u$ 下的开集.
综上所述，这个集就是题中要求的不开不闭的子集.

8.常值映射 $f:(X,\mathscr{T})\to(Y,\mathscr{S})$ 是否连续？为什么？

/solution/

分析一下，假设 $B\subset Y$ 且 $B\in\mathscr{S}$ ，则 $f^{-1}[B]$ 必须满足 $f^{-1}[B]\subset X$ 且 $f^{-1}[B]\in\mathscr{T}$ .

这时可以分类讨论，若常值 $b\in B$ ，则 $f^{-1}[B]=X\in\mathscr{T}$ ；若常值 $b\notin B$ ，则 $f^{-1}[B]=\varnothing\in\mathscr{T}$ ，这证明映射是连续的.

9.设 $\mathscr{T}$ 为集 $X$ 上的离散拓扑， $\mathscr{S}$ 为集 $Y$ 上的凝聚拓扑，
(a) 找出从 $(X,\mathscr{T})$ 到 $(Y,\mathscr{S})$ 的全部连续映射；
(b) 找出从 $(Y,\mathscr{S})$ 到 $(X,\mathscr{T})$ 的全部连续映射.

/solution/

(a) 这时， $Y$ 中的开集只有 $\varnothing$ 和 $Y$ 本身，要求逆像对应 $X$ 中的任何一个子集即可. 任何一个映射都能满足条件.

(b) 常值映射可以满足条件.

证明其他映射不满足条件：假设存在 $x,y\in g[Y]$ ， $x\neq y$ ，则取 $O=\{x\}$ ，有 $g^{-1}[O]=g^{-1}[\{x\}]\notin\mathscr{S}$ ，于是只能为常值映射.

10.试证明定义3a与3b的等价性.

定义3a：设 $(X,\mathscr{T})$ 和 $(Y,\mathscr{S})$ 为拓扑空间. 映射 $f:X\to Y$ 称为连续的(continuous)，若 $f^{-1}[O]\in\mathscr{T}$ ， $\forall O\in\mathscr{S}$ .

定义3b：设 $(X,\mathscr{T})$ 和 $(Y,\mathscr{S})$ 为拓扑空间. 映射 $f:X\to Y$ 称为在点 $x\in X$ 处连续的，若 $\forall$ 满足 $f(x)\in G'$ 的 $G'\in\mathscr{S}$ ， $\exist G\in\mathscr{T}$ 使 $x\in G$ 且 $f[G]\subset G'$ . $f:X\to Y$ 称为连续的，若它在所有点 $x\in X$ 上连续.

/proof/

若映射满足定义3a：取 $(Y,\mathscr{S})$ 开子集 $O'$ 中的元素 $f(x)$ ，有 $f^{-1}[O']=O\in\mathscr{T}$ ，元素 $x$ 一定属于 $O\subseteq O$ ，而且对于任一元素 $x$ 均有上述事实成立，所以定义3b被满足；

若映射满足定义3b：对于任一一点 $x\in X$ ，存在一个 $x\in G$ ， $f[G]\subset G'$ ，遍历所有的 $x\in G$ ，则 $f(x)\in G'$ 被遍历一遍，有 $f[G]=G'$ . 所以定义3a被满足.

综上所述，证毕.

11.试证任意开区间 $(a,b)\subset\R$ 与 $\R$ 同胚.

/proof/

构造一个满足条件的映射即可，可以是：

\begin{aligned} \tan(\frac{\pi}{b-a}x-\frac{b+a}{b-a}\frac{\pi}{2})\\\\ \end{aligned}

当 $x$ 遍历 $(a,b)$ 时， $\tan$ 函数的宗量遍历 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ，整个函数的值遍历 $\R$ . 这个函数是一个初等函数，在 $\varepsilon\text{-}\delta$ 定义下是连续的. 这就证明了任意开区间 $(a,b)\subset\R$ 与 $\R$ 同胚.

12.设 $X_1$ 和 $X_2$ 是 $\R$ 的子集， $X_1=(1,2)\cup(2,3)$ ， $X_2=(1,2)\cup[2,3)$ . 以 $\mathscr{T}_1$ 和 $\mathscr{T}_2$ 分别代表由 $\R$ 的通常拓扑 $\mathscr{T}_u$ 在 $X_1$ 和 $X_2$ 上的诱导拓扑. 拓扑空间 $(X_1,\mathscr{T}_1)$ 和 $(X_2,\mathscr{T}_2)$ 是否连通？

/solution/

拓扑空间 $(X_1,\mathscr{T}_1)$ 不连通. 由诱导拓扑定义， $(1,2)\in\mathscr{T}_1$ ，所以区间 $(1,2)$ 是一个开集，而其补集 $(2,3)\in\mathscr{T}_1$ ，所以它又是一个闭集，这说明拓扑空间 $(X_1,\mathscr{T}_1)$ 有除 $X_1$ 和 $\varnothing$ 之外的既开又闭的子集，不连通.

拓扑空间 $(X_2,\mathscr{T}_2)$ 连通. 这个网上的证明我没有看懂…但是我自己是因为没有找到反例才得出的结论.

13.任意集合 $X$ 配以离散拓扑 $\mathscr{T}$ 所得的拓扑空间是否连通？

/solution/

显然不连通. $\forall O\in\mathscr{T}$ 都有 $X-O\in\mathscr{T}$ .

14.设 $A\subset B$ ，试证：

(a) $\bar{A}\subset\bar{B}$ ；（提示： $A\subset B$ 表明 $\bar{B}$ 是含 $A$ 的闭集.）
(b) $i(A)\subset i(B)$ .

/proof/

(a) $A\subset B\subset\bar{B}\Longrightarrow\bar{A}\subset\bar{B}$ .

(b) $i(A)\subset A\subset B\Longrightarrow i(A)\subset i(B)$ .

都是用定义证明的.

15.试证“ $x\in\bar{A}$ ” $\Longleftrightarrow$ “ $x$ 的任一邻域与 $A$ 之交集非空”. （对 $\Rightarrow$ 证明的提示：设 $O\in\mathscr{T}$ 且 $O\cap A=\varnothing$ ，先证 $A\subset X-O$ ，再证（利用闭包的定义） $\bar{A}\subset X-O$ .）

/proof/

先证 $\Rightarrow$ ：假设存在 $O$ 是 $x$ 的开邻域，且 $O\cap A=\varnothing$ ，那么一定有 $A\subset X-O$ ，又因为 $O\in\mathscr{T}$ ，所以 $X-O$ 是闭集，所以 $\bar{A}\subset X-O$ ，即有 $x\in X-O$ 与 $O$ 是 $x$ 的开邻域矛盾，所以假设不成立， $\Rightarrow$ 证毕.