高等微积分 Lesson 9

写在前面：我今天才知道还是有同学在认真看这些笔记的，希望大家能不吝赐教，把我的一些错误找出来. 因为我确实不能保证所有东西都是完全正确的，笔记也是在边听课边打字，难免出现错别字和笔误，如果大家能指出来，我将非常感激！

继续上一节课的证明：

/Example/

证明$\underset{x\to+\infty}{\lim}(1+\frac{1}{x})^x=e$.

/Proof/

对$\forall x>1$有

$$\begin{aligned} &(1+\frac{1}{[x]+1})^{[x]}<(1+\frac{1}{x})^x <(1+\frac{1}{[x]})^{[x]+1}\\\\ &f(x)<g(x)<h(x) \end{aligned}$$

有$\underset{x\to+\infty}{\lim}h(x)$满足这样的复合映射：

$$(1,+\infty)\overset{p(x)=[x]}{\longrightarrow}\Z_+\overset{q}{\longrightarrow}\R$$

$\underset{n\to+\infty}{\lim}q(n)=e$，且$\underset{x\to+\infty}{\lim}p(x)=+\infty$（符号正无穷），这自动满足修正1，所以$h(x)$的极限为$e$.

这实际上用到了一个我们之前没有叙述的复合极限定理版本，但是这个版本由上面的知识是显然的.

对于下界（$f(x)$），同样可以做上面的复合映射，这样就能通过夹逼定理得到极限$\underset{x\to+\infty}{\lim}g(x)=e$. （其实上一节课证明了下界的情况.）

证毕.

/Example/

证明$\underset{x\to-\infty}{\lim}(1+\frac{1}{x})^x=e$.

这里要进行说明，一个整数的任意次幂都是有定义的.

/Proof/

换元，令$y=-x$，当$x\to-\infty$时，$y\to+\infty$（符号正无穷），这时修正1自动成立.

接下来就可以使用复合极限定理，所求即为：

$$\begin{aligned} \underset{y\to+\infty}{\lim}(1-\frac{1}{y})^{-y}&=\underset{y\to+\infty}{\lim}(\frac{y}{y-1})^y\\\\ &=\underset{y\to+\infty}{\lim}(1+\frac{1}{y-1})^{y-1}(1+\frac{1}{y-1}) \end{aligned}$$

之后可以进行换元$z=y-1$，但是实际上并没有必要了，可以显然地看出极限为$e$.

证毕.

上面两个 Example 统一写成：$\underset{x\to\infty}{\lim}(1+\frac{1}{x})^x=e$.

也可以表达为（换元$t=1/x$），得到：$\underset{t\to0}{\lim}(1+t)^{1/t}=e$. 这也是满足修正1的.

连续性

关注复合极限定理的修正2，我们当时引入这条修正时害怕$f(x)$定期不定期取为$y_0$，所以干脆要求$g(y_0)=z_0$，使得即使$f(x)$取为$y_0$也能满足复合极限为$z_0$.

在实际使用定理时，这种情况实际上更常见，我们有必要给这种函数进行一个命名，所以我们说：

/Definition/

设$f$在$x_0$的某个邻域中有定义，称$f$在$x_0$处是连续的，如果$\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)$.

用$\varepsilon-\delta$语言改写：$\forall\varepsilon>0$，$\exist\delta>0$，$\forall0<|x-x_0|<\delta$有$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.

$\varepsilon$，$\delta$有什么作用？只是用来表达距离而已，所以这相当于在$f(x_0)$和$x_0$处画了两个开球邻域.

所以等价于：对$f(x_0)$的任何一个开球邻域$B_\varepsilon(f(x_0))$，都存在$x_0$的开球邻域$B_\delta(x_0)$，满足$f[B_\delta(x_0)]\subseteq B_\varepsilon(f(x_0))$.

还可以简化和一般化！

对$f(x_0)$的任何邻域$V$，存在$x_0$的邻域$U$，使得$f[U]\subseteq V$.

以上就是最一般的定义.

/Example/

$\underset{x\to a}{\lim}\sin x=\sin a$，$\underset{x\to a}{\lim}\cos x=\cos a$，表明$\sin x$和$\cos x$在任何点$a$处连续.

/Claim/

$e^x$在每点$x_0$处连续.

/Proof/

定义验证，证明$\underset{x\to x_0}{\lim}e^x=e^{x_0}$.

等价于分别验证$\underset{x\to x_0-}{\lim}e^x=e^{x_0}$和$\underset{x\to x_0+}{\lim}e^x=e^{x_0}$.

只处理后者（前者等价）. $\forall\varepsilon>0$，取$n\in\Z_+$，

Draft：要证明$|e^x-e^{x_0}|<\varepsilon$，

$$\begin{aligned} &\Longleftrightarrow e^x-e^{x_0}<\varepsilon\\\\ &\Longleftrightarrow e^{x-x_0}-1<\frac{\varepsilon}{e^{x_0}}\\\\ &\Longleftrightarrow e^{x-x_0}<\frac{\varepsilon}{e^{x_0}}+1 \end{aligned}$$

“我们还不能使用对数，因为还没有反函数定理”
——艾神

试图证明：

$$e^{x-x_0}<e^\delta<e^{1/n}<1+\frac{\varepsilon}{e^{x_0}}$$

之后最右边一个不等式两边$n$次幂，再用二项式展开，可以发现下面的$n$和$\delta$的取法是合适的.

使得$n\frac{\varepsilon}{e^{x_0}}>e-1$，再取$0<\delta<1/n$，从而$\forall x_0<x<x_0+\delta$有：

$$\begin{aligned} &(1+\frac{\varepsilon}{e^{x_0}})^n\geq1+n\frac{\varepsilon}{e^{x_0}}>e\\\\ &\Longrightarrow e^{1/n}<1+\frac{\varepsilon}{e^{x_0}} \end{aligned}$$

进而$|e^x-e^{x_0}|<\varepsilon$，右极限证毕.

左极限可以使用换元，或是同理证明.

证毕.

/Claim/

设$\underset{x\to x_0}{\lim}u(x)=A>0$，$\underset{x\to x_0}{\lim}v(x)=B$，则$\underset{x\to x_0}{\lim}u(x)^{v(x)}=A^B$.

/Proof/

“假设我现在又穿越到有$\ln$定义的时代.”
——艾神

我们有$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$是复合$q(h(x))$，是这样的两个映射的复合：

$$D\overset{h(x)=v(x)\ln u(x)}{\longrightarrow}\R\overset{q(y)=e^y}{\longrightarrow}\R$$

使用复合极限定理（修正2成立），还有下面的Claim，

/Claim/

$\underset{x\to x_0}{\lim}h(x)=B\ln A$.

得到$\underset{x\to x_0}{\lim}q(h(x))=A^B$.

下证使用到的Claim：

/Proof/

首先根据四则运算，$\underset{x\to x_0}{\lim}h(x)=\underset{x\to x_0}{\lim}v(x)\ln u(x)=B\underset{x\to x_0}{\lim}\ln u(x)$，只要证明$\underset{x\to x_0}{\lim}\ln u(x)=\ln A$.

又是复合极限——

$$D\overset{u(x)}{\longrightarrow}\R_+\overset{L(y)=\ln y}{\longrightarrow}\R$$

由反函数定理（这个东西还没有证明！之后再证明）得到$L$在$\R_+$上连续，再使用复合极限定理，有$\underset{x\to x_0}{\lim}\ln u(x)=\ln A$.

证明完毕. 这个方法对比构造不等式的方法，显然要先进得多.

证毕.

回到连续性的话题：连续性的几何含义.

$f$在$x_0$处连续 $\Longleftrightarrow$ $\forall f(x_0)$处开球$B_\varepsilon(f(x_0))$，$\exist x_0$处开球$B_\delta(x_0)$使得$f[B_\delta(x_0)]\subseteq B_\varepsilon(f(x_0))$.

这个表述并不直观，考虑反过来说：

$f$在$x_0$处不连续 $\Longleftrightarrow$ $\exist f(x_0)$处开球$B_\varepsilon(f(x_0))$，$\forall x_0$处开球$B_\delta(x_0)$使得$f[B_\delta(x_0)]\not\subseteq B_\varepsilon(f(x_0))$.

也就是不管$x$离$x_0$多近，经过$f$映射之后都会变得远离，或者说$f$在$x_0$处“被撕开了”.

另一个解读是利用$f$的图像（graph，记作$\Gamma_f=\{(x,f(x))|x\in D\}$），这时$f$在$x_0$处不连续 $\Longleftrightarrow$ $\exist\varepsilon>0$，$\forall\delta>0$，$\exist|x-x_0|<\delta$，使得$|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，具体表现为在图像上出现断点.

/Definition/ （整体连续性）

称$f:D\to\R$是$D$上的连续函数，如果$f$在$D$的每点都连续.

但这是有问题的（“但这是错的.jpg” from 艾）. 回忆$f$在$x_0$处连续的定义，上面的定义还要要求$\forall x_0\in D$，$\exist B_r(x_0)\subseteq D$.

哪些$D$能满足这个要求呢？我们发现$D$如果是闭区间，这个要求就没有办法满足，所以上面的定义是不小心的.

我们应该这样下定义（这里用$\R^n$是为了之后使用多元微积分做准备）

/Definition/ （开集）

设$D\subseteq\R^n$，称$D$是$\R^n$的开集 $\Longleftrightarrow$ $\forall x_0\in D$，$\exist r>0$，使得$B_r(x_0)\subseteq D$，也就是说$D$包含其中每个点的某个开球邻域.

/Definition/ （开集的整体连续性）

设$D$是$\R^n$的开集（本学期$n=1$），称$f:D\to\R$是一个连续函数，记为$f\in C(D,\R)$（C是continuous的意思），如果$f$在$D$中每点处连续.

问：对一般的$D$，如何定义$f:D\to\R$连续？

在一维的情况下，有

/Definition/

设$f:[a,b]\to\R$，称$f$在$a$处右连续 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a+}{\lim}f(x)=f(a)$；称$f$在$b$处左连续 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to b-}{\lim}f(x)=f(b)$.

定义$f\in C([a,b],\R)$为如下条件：

1. $f$在$x_0$处连续，$\forall x_0\in(a,b)$；
2. $f$在$a$处右连续；
3. $f$在$b$处左连续.